Iperbole: equazione, esempi svolti e spiegati e formule
In questa pagina vedremo la definizione di iperbole, le diverse equazioni nei suoi diversi tipi, poi le formule di fuochi e vertici, poi formule degli asintoti, ed alla fine vedremo esempi di esercizi svolti e spiegati con cura, passo dopo passo.
Indice
- Iperbole con fuochi sull’asse x
- Iperbole con fuochi sull’asse y
- Iperbole equilatera
- Esempi svolti e spiegati
Esistono più varianti diverse di iperboli: iperbole che ha i fuochi sull’asse x, iperbole che ha i fuochi sull’asse y ed iperbole equilatera. Per questo le tratterremo separatamente una alla volta. Cominciamo subito!
Iperbole con fuochi sull’asse x
Visto che questo è il primo tipo di iperbole che trattiamo, la spieghiamo anche più approfonditamente, facendovi capire tutte le caratteristiche di un iperbole. Non entreremo in dettaglio di cose come ” l’iperbole è il luogo geometrico…blablabla ” ma vediamo direttamente le sue equazioni, capiamo le sue formule e siamo pronti per gli esercizi! Partiamo dalla sua equazione!
Equazione dell’iperbole con fuochi sull’asse x
Un iperbole è una figura geometrica che viene identificata nel piano cartesiano grazie alla conoscenza della sua equazione. L’equazione che rappresenta un iperbole ha la forma seguente.
![equazione iperbole](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/equazione-iperbole.jpg)
Poiché vi sono vari tipi di iperboli, dobbiamo specificare alcune cose. Questa equazione è riferita ad un iperbole che ha i suoi fuochi e i vertici sull’asse x (nella sezione successiva capiamo cosa sono i fuochi ed i vertici).
![iperbole](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/iperbole-1.jpg)
L’equazione dell’iperbole non rappresenta una funzione! Prima abbiamo detto che un iperbole è una figura geometrica, e l’abbiamo fatto perché bisogna tenere bene in mente una cosa: un iperbole non è una funzione. Questo perché per una particolare x del dominio vi si associano più valori del codominio y. Ma questo non ci darà fastidio negli esercizi, è solo bene saperlo!
![iperbole non è una funzione](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/iperbole-non-e-una-funzione.jpg)
Abbiamo detto che la precedente equazione rappresenta un iperbole che ha i fuochi ed i vertici sull’asse x. Cosa sono precisamente e come si calcolano?
Cosa sono i fuochi ed i vertici di un iperbole e come si calcolano
Cerchiamo di essere brevi ed efficaci: un vertice è un “estremo interno” di un iperbole, cioè dove “nasce” l’iperbole. E’ il punto più interno di un iperbole. E’ il punto dove il grafico inizia a cambiare direzione…insomma ci siamo capiti!
Per il fuoco, o meglio i fuochi, invece bisognerebbe fare un discorso più puramente geometrico, parlando di luogo geometrico ecc. Vi basti sapere che i fuochi stanno nella stessa direzione dei vertici, ma posizionati un po’ più esternamente.
Ora che abbiamo capito cosa sono, come si calcolano e come si trovano? Per trovare il posizionamento di fuochi e di vertici (cosa importante per fare poi il grafico), bisogna conoscere l’equazione dell’iperbole. Ossia conoscendo:
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
Grazie alla conoscenza di questa equazione, possiamo calcolare i fuochi ed i vertici con le seguenti formule.
![formule fuochi vertici iperbole](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/formule-fuochi-vertici-iperbole.jpg)
Potete notare che la componente della y è sempre 0, proprio perché questa è un iperbole “che ha fuochi sull’asse x”!
Adesso che abbiamo capito anche come trovare i fuochi ed i vertici, per disegnare un iperbole e capire come è fatta, bisogna fare un altro step: calcolare i suoi asintoti.
Asintoti dell’iperbole con fuochi sull’asse x
Per questa piccola sezione, super importante soprattutto per gli esercizi di grafici, ci abbiamo dedicato un’intera pagina: asintoti dell’iperbole, che vi invito a cliccare. Quindi qui riassumerò brevemente ciò che è stato detto lì. Quindi se qualcosa non vi sarà chiaro, sappiate che troverete la risposta in quella pagina.
Un iperbole possiede degli asintoti: cosa sono? Un asintoto è una linea retta immaginaria. L’iperbole infatti ad un certo punto (agli estremi destra e sinistra) segue una direzione ben precisa come vedete.
![asintoti iperbole fuochi asse x](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/formule-asintoti-iperbole-1.png)
Questo è dovuto alla presenza di asintoti, detti obliqui (perché obliqui appunto). Una caratteristica è che: un asintoto non tocca mai il grafico dell’iperbole. Cioè i due si avvicinano sempre di più ma non si toccano mai.
![significato asintoto iperbole](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/significato-asintoto-iperbole-cosa-e-1.png)
Non sottovalutate questa sezione perché è fondamentale per disegnare un iperbole! Vediamo adesso come calcolare gli asintoti. Le formule degli asintoti sono le seguenti.
![formule asintoti iperbole con fuochi sull'asse x](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/formule-asintoti-iperbole-fuochi-asse-x.png.jpg)
Possiamo notare delle cose dalle formule: essendoci i coefficienti a ed b, allora è possibile ricavare gli asintoti o conoscendo l’equazione o conoscendo i fuochi ed i vertici. Alla fine della pagina vedremo degli esempi su questi calcoli. Passiamo adesso all’ultimo aspetto di un iperbole: l’eccentricità.
Eccentricità dell’iperbole
Essenzialmente eccentricità di un iperbole significa “quanto è curva un iperbole”. Per calcolarla si utilizza la seguente formula.
![formula eccentricità iperbole](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/formula-eccentricita-iperbole.jpg)
Quindi, a seconda del valore dei coefficienti a ed b, si hanno anche diversi valori di eccentricità. Quindi a seconda dell’equazione che ci viene data, un iperbole può avere diversi valori di eccentricità.
Essa è una misura di quanto marcata è la curva dell’iperbole, eccovi alcuni esempi.
![significato differenza eccentricità iperbole](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/significato-differenza-eccentricita-iperbole-1024x667.jpg)
Adesso conosciamo tutto di un iperbole…con fuochi sull’asse x! Ora mostriamo anche gli altri tipi di iperboli, molto simili: quindi andremo più veloci e mostreremo solamente le formule.
Iperbole con fuochi sull’asse y
Il discorso è analogo al precedente. Quello che cambia è la disposizione spaziale dell’iperbole. Qui si ha un iperbole disposta in verticale, con la presenza di fuochi e di vertici sopra l’asse y.
![iperbole con fuochi sopra l'asse y](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/iperbole-con-fuochi-sopra-asse-y.jpg)
L’equazione è leggermente diversa, cambia infatti solamente il segno del membro di destra.
![equazione iperbole con fuochi su asse y](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/equazione-iperbole-con-fuochi-su-asse-y.jpg)
Tutte le considerazioni concettuali fatte prima valgono ancora. Quelle che cambiano sono le formule. Di fatti, essendo che i fuochi ed i vertici ora sono su un altro asse, ci aspettiamo chiaramente che le formule siano diverse, ed infatti è così.
![fuochi vertici iperbole formule asse y](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/fuochi-vertici-iperbole-formule-asse-y.jpg)
Osserviamo bene: notiamo che, a differenza delle formule di prima, alla fine sono state scambiate solo le componenti per i fuochi, mentre per i vertici abbiamo solo invertito le componenti e messo b. E’ questo un trucchetto per impararle: imparate dunque a memoria solo le formule di prima, e poi per ricavare queste invertite solo le componenti, e poi per i vertici metteteci la b.
Per gli asintoti le formule sono uguali! E’ questa un particolarità se ci pensate: asintoti uguali e cioè direzioni agli estremi uguali. Ciò che cambia è da dove parte l’iperbole in pratica.
Per l’eccentricità la formula è la stessa, ma cambia solo il denominatore:
![formula eccentricità iperbole con fuochi su asse y](https://www.mondofisica.it/wp-content/uploads/2023/04/formule-eccentricita-iperbole-con-fuochi-su-asse-y.jpg)
Vediamo ora un caso particolare, ma semplice, dell’iperbole: l’iperbole equilatera.
Iperbole equilatera
Anche qui vi abbiamo trattato una pagina a sé, cui invito a cliccarci: iperbole equilatera.
Un iperbole equilatera è semplicemente un iperbole che ha i coefficienti uguali. Quindi si chiama equilatera se ha:
a^2 = b^2 \implies a=b
Questa è l’unica condizione: di conseguenza un iperbole equilatera può avere sia i fuochi sull’asse x che sull’asse y. Cioè non importa che tipo sia, basta che valga tale condizione:
a=b \; \implies iperbole equilatera
Quindi, a seconda del fatto che sia con i fuochi sull’asse x o y segue diverse formule. Formule che vengono semplificate dal fatto che i coefficienti sono uguali. Formule e passaggi che trovate nella pagina dedicata sull’iperbole equilatera.
Esempi svolti e spiegati sull’iperbole
Esempio 1. Determinare l’equazione di un iperbole sapendo che F_1 (-5,0) e F_2 (5,0) , e conoscendo i vertici V_1 (-4,0) e V_2 (4,0) . Che tipo di iperbole è?
Osserviamo le coordinate dei fuochi e dei vertici, e disegniamoli in un grafico: stanno sull’asse x! Di conseguenza capiamo che l’iperbole ha i fuochi sull’asse x. La sua equazione dovrà essere dunque della forma:
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
Dobbiamo quindi trovare i coefficienti. Mettiamoci vicino le formule di questo tipo di iperbole. Notiamo fin da subito che i vertici hanno la forma:
V_1 (-a,0), \;\; V_2 (a,0)
Noi abbiamo:
V_1 (-4,0), \;\; V_2 (4,0)
Per confronto capiamo immediatamente che:
a=4 \implies a^2 = 16
A questo punto ci manca solamente b! Questo coefficiente lo troviamo nell‘informazione dei fuochi:
F_1 (-\sqrt{a^2 + b^2} ,0), \;\; F_2 (\sqrt{a^2 + b^2},0)
E noi abbiamo:
F_1 (-5 ,0), \;\; F_2 (5,0)
Per confronto di nuovo capiamo che:
\sqrt{a^2 + b^2} = 5
Ma noi conosciamo a:
\sqrt{16 + b^2} = 5
Eleviamo tutto al quadrato:
4 + b^2 = 25
b^2 = 25-16 = 9
Ora basta sostituire i coefficienti quadri nell’equazione dell’iperbole, ottenendo:
\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1
Esempio 2. Determinare i fuochi, i vertici e gli asintoti dell’iperbole di equazione seguente:
4x^2 - y^2 = -16
Innanzitutto non spaventiamoci: sembra non avere la forma di un iperbole, ma in realtà lo è. Basta semplicemente dividere tutto per 16:
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16} = -1
Quindi abbiamo ottenuto l’equazione di un iperbole con fuochi sull’asse y. Capiamo immediatamente per confronto sempre, che:
a^2 = 4 \implies a= 2, \; b^2 = 16 \implies b= 4
Ora abbiamo tutto per trovare i fuochi ed i vertici. Partiamo dai fuochi, dobbiamo usare le seguenti formule (ricordate che dobbiamo usare le formule di un iperbole che ha i fuochi sull’asse y):
F_1 (0,-\sqrt{a^2 + b^2}), \;\; F_2 (0,\sqrt{a^2 + b^2})
Sostituendo i valori dei coefficienti:
F_1 (0,-\sqrt{4 + 16}), \;\; F_2 (0,\sqrt{4 + 16})
F_1 (0,-\sqrt{20}), \;\; F_2 (0,\sqrt{20})
Ora passiamo ai vertici:
V_1 (-b,0), \;\; V_2 (b,0)
V_1 (-4,0), \;\; V_2 (4,0)
Nulla di difficile: passiamo al calcolo degli asintoti, le cui formule sono:
y = \frac{b}{a} x, \; y = - \frac{b}{a} x
Facilmente ricaviamo che:
y = \frac{4}{2} x, \; y = - \frac{4}{2} x
y =2 x, \; y = - 2x
Esempio 3. Disegnare l’iperbole di equazione -1 - x^2 + \frac{y^2}{9} =0
Soluzione qui.
La pagina è conclusa, speriamo vi sia stato chiaro tutto.
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