Asintoti esercizi svolti e studio degli estremi
Asintoti esercizi svolti e studio degli estremi: 15 ESERCIZI SVOLTI. La ricerca di un asintoto è un punto fondamentale dello studio della funzione ed è argomento d’esame, insieme al dominio, allo studio del segno, massimi e minimi, e convessità. In questa pagina vedremo ben 15 esercizi SVOLTI su come si ricercano gli asintoti! Partiamo con un indice che ci divide gli argomenti.
Indice
- Tabella formule asintoti
- Esercizi Asintoti verticali
- Esercizi Asintoti orizzontali
- Esercizi Asintoti obliqui
- Trovare gli asintoti di una funzione
Partiamo subito con una tabella riassuntiva delle formule per gli asintoti!
Tabella FORMULE asintoti
Iniziamo subito con gli esercizi svolti sugli asintoti verticali!
Asintoti VERTICALI esercizi svolti
Esercizio 1. y=\frac{2x^2 - 1}{x-3}
La ricerca degli asintoti parte dal dominio e da eventuali punti di discontinuità! Quindi come prima cosa bisogna trovare il dominio della funzione. In questo caso abbiamo una funzione razionale fratta, quindi il dominio è dato da denominatore diverso da zero:
D: x-3 \ne 0 \implies x \ne 3
Questo x=3 rappresenta un punto di discontinuità per la funzione. Quello che bisogna fare dopo aver calcolato il dominio e trovato un punto di discontinuità e farne i limiti destro e sinistro della funzione e vedere cosa esce fuori. Se non sapete fare i limiti, non vi preoccupate: se vi studiate queste 3 pagine in un paio di giorni avete fatto! Ossia limiti, forme indeterminate, limiti notevoli. Ma torniamo all’esercizio!
\lim\limits_{x \to 3^-} \frac{2x^2 - 1}{x-3} = \frac{2\cdotp 9 - 1}{3^- -3} = \frac{17}{0^-} = - \infin
\lim\limits_{x \to 3^+} \frac{2x^2 - 1}{x-3} = \frac{2\cdotp 9 - 1}{3^+ -3} = \frac{17}{0^+} = + \infin
Quando i limiti tendono ad infinito per un punto di discontinuità allora abbiamo a che fare con un asintoto verticale, come possiamo vedere in tabella. Ossia la funzione tende ad una retta verticale in x=3, ed una parte va verso +infinito cioè verso l’alto mentre l’altra verso il basso, come in figura:
Esercizio 2. y=\frac{1}{\sin x -1}
Partiamo dal dominio come sempre! E’ fondamentale e non si può saltare questo passaggio se ve lo state chiedendo.
D:\sin x -1 \ne 0 \implies \sin x \ne 1
Il seno è diverso da 1 per tutti gli angoli, tranne in:
D:x \ne \frac{\pi}{2} + 2k \pi
Quando ci sono funzioni periodiche come in questo caso, si restringe il dominio ad un intervallo di periodo della funzione, in questo caso restringiamo lo studio ad un intervallo [0,2 \pi ] . Ma essendo che c’è un punto di discontinuità appena trovato allora il dominio si scriverà come:
D: [0,\frac{\pi}{2}[ \land ]\frac{\pi}{2},2 \pi ]
Adesso possiamo passare allo studio di questo punto di discontinuità x= \frac{\pi}{2} facendone il limite destro e sinistro.
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \frac{1}{\sin x -1} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2}^+ -1} = \frac{1}{1^- -1} = \frac{1}{0^-} =-\infin
\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \frac{1}{\sin x -1} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{2}^+ -1} = \frac{1}{1^- -1} = \frac{1}{0^-} =-\infin
Quindi entrambi i lati della funzione tendono ad andare verso giù verso la retta x=\frac{\pi}{2}, e quindi questo punto è un punto in cui c’è un asintoto verticale.
Esercizio 3. y=\frac{4x}{1- \sqrt{x} }
Partiamo dal dominio. Abbiamo una funzione fratta ed una radice. Partiamo dalla radice che è più semplice in questo caso:
D:x \ge 0
Ora passiamo al dominio della funzione fratta.
D:1 - \sqrt{x} \ne 0 \implies \sqrt{x} \ne 1 \implies x \ne 1
Quindi unendo i due singoli domini, otteniamo il dominio di tutta la funzione che è:
D:0 \le x < 1 \land x>1
Quindi x=1 è un punto di discontinuità e quindi da studiare, e studiamo inoltre anche l’estremo x=0 della funzione, perchè anche lì può esserci un asintoto. Partiamo da x=1.
\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{4x}{1- \sqrt{x} } =\frac{4}{1- 1^+ }= \frac{4}{0^- }=- \infin
\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{4x}{1- \sqrt{x} } =\frac{4}{1- 1^- }=\frac{4}{0^+ }=+ \infin
x=1 è quindi un punto in cui c’è un asintoto verticale!
Vediamo adesso x=0, ossia l’estremo. Notiamo qui chiaramente che esiste solo il limite destro, visto il dominio!
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{4x}{1- \sqrt{x} } =\frac{0^+}{1}= 0
Qui il limite non tende ad infinito, quindi non c’è nessun asintoto.
Continuiamo con la ricerca degli asintoti con altri esercizi svolti!
Esercizio 4. y= \frac{\cos 2x}{1 + \sin x}
Partiamo dal dominio, qui abbiamo una funzione razionale fratta. Inoltre abbiamo un seno ed un coseno, quindi restringiamo il dominio all’intervallo [0, 2 \pi ] . Facciamo quindi il dominio della frazione:
D: 1 + \sin x \ne 0 \implies \sin x \ne -1
Nell’intervallo [0, 2 \pi ] il seno è diverso da -1 nel punto:
x \ne \frac{3}{2}\pi
Quindi il dominio della funzione possiamo scriverlo come:
D: [0, \frac{3}{2}\pi [ \land ]\frac{3}{2}\pi , 2 \pi ]
Passiamo allo studio di questo punto.
\lim\limits_{x \to \frac{3}{2}\pi ^+} \frac{\cos 2x}{1 + \sin x} = \frac{\cos 2\frac{3}{2}\pi ^+}{1 + \sin \frac{3}{2}\pi ^+} =
=\frac{-1}{1 -1^-} = \frac{-1}{0^+} = - \infin
\lim\limits_{x \to \frac{3}{2}\pi ^-} \frac{\cos 2x}{1 + \sin x} = \frac{\cos 2\frac{3}{2}\pi ^-}{1 + \sin \frac{3}{2}\pi ^-} =
=\frac{-1}{1 -1^-} = \frac{-1}{0^+} = - \infin
Questo è quindi un punto di asintoto verticale, e la funzione nei due intorni tendono entrambe a – infinito, cioè ad andare verso giù lungo la retta d’asintoto.
Esercizio 5. y=\sqrt{ \frac{x^3 -1 }{x^2 - x} }
Quindi abbiamo detto che dobbiamo partire dal dominio. Qui abbiamo una funzione radice ed una fratta. Partiamo dal dominio di quella fratta che è più semplice.
D: x^2 -x \ne 0 \implies x(x-1) \ne 0 \implies x \ne 0 \land x \ne 1
Ora passiamo al dominio della radice: argomento positivo o uguale a zero.
\frac{x^3 -1 }{x^2 - x} \ge 0
E lo risolviamo con un falso sistema.
\big\| x^3 -1 \ge 0 \\ \big\| x^2 - x > 0
\big\| x^3 \ge 1 \\ \big\| x(x-1) > 0
Il secondo termine lo risolviamo a sua volta con un altro falso sistema.
\big\| x>0 \\ \big\| x-1 > 0
\big\| x>0 \\ \big\| x > 1
Facendo la tabella dei segni e prendendo gli intervalli positivi otteniamo:
x<0 \lor x>1
E lo andiamo a sostituire nel falso sistema di prima! Un passo alla volta e si fa tutto!
\big\| x^3 \ge 1 \\ \big\| x<0 \lor x>1
\big\| x \ge 1 \\ \big\| x<0 \lor x>1
Facendo la tabella dei segni e prendendo gli intervalli positivi allora segue che:
0<x<1 \land x>1
che è anche il dominio totale della funzione!
Ora passiamo allo studio dei punti di eventuale discontinuità in x=1 ed anche all’estremo della funzione x=0. Partiamo proprio dall’estremo x=0 ! Ricordiamo però che quando si ha a che fare con un estremo esiste solamente un limite! In questo caso possiamo studiare solo il limite destro ! Questo perchè la funzione in x<0 non esiste.
\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{ \frac{x^3 -1 }{x^2 - x} } = \frac{0}{0}
Essa è una forma indeterminata, quindi mettiamo in evidenza la x e sopra utilizziamo la formula della differenza di cubi.
\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{ \frac{x^3 -1 }{x^2 - x} } =\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{ \frac{(x-1)(x^2 + x +1) }{x(x - 1)} }
=\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{ \frac{x^2 + x +1 }{x} } =\sqrt{ \frac{1 }{0^+} } = + \infin
x=0 è un punto in cui vi è un asintoto verticale!
Vediamo adesso x=1, dove in questo caso, visto il dominio, esiste sia il limite destro che sinistro. Utilizziamo sempre la formula della sottrazione dei cubi e mettiamo in evidenza come prima.
=\lim\limits_{x \to 1^+} \sqrt{ \frac{x^2 + x +1 }{x} } =\sqrt{ \frac{3 }{1^+} } = 3
=\lim\limits_{x \to 1^-} \sqrt{ \frac{x^2 + x +1 }{x} } =\sqrt{ \frac{3 }{1^-} } = 3
Quindi x=3 non è un asintoto, è semplicemente un punto di discontinuità, in cui vi è un buco nella funzione.
Continuiamo con la ricerca degli asintoti con altri esercizi svolti!
Asintoto ORIZZONTALE esercizi svolti
Esercizio 6. y=\sqrt{ \frac{x-4}{x} }
Qui c’è una funzione fratta ed una radice, calcoliamo il dominio della fratta:
x \ne 0
E poi della radice.
\frac{x-4}{x} \ge 0
Lo risolviamo con un falso sistema.
\big\| x-4 \ge 0 \\ \big\| x > 0
\big\| x \ge 4 \\ \big\| x > 0
Vedendo lo schema dei segni, e prendendo gli intervalli positivi, abbiamo che:
D:x<0 \land x \ge 4
che è anche il dominio di tutta la funzione.
Per la ricerca degli asintoti orizzontali, come potete vedere dalla formula, bisogna studiare il comportamento della funzione agli estremi. Quindi:
\lim\limits_{x \to +\infin} \sqrt{ \frac{x-4}{x} }
Questa è una forma indeterminata: per risolverla mettiamo in evidenza la x.
=\lim\limits_{x \to +\infin} \sqrt{ \frac{x(1-\frac{4}{x})}{x} } = \sqrt{ 1-\frac{4}{\infin} } = 1
Quindi y=1 è un asintoto orizzontale per quando la funzione tende verso + infinito, cioè verso destra.
\lim\limits_{x \to -\infin} \sqrt{ \frac{x-4}{x} } =1
Per l’altro infinito il procedimento è lo stesso e anche qui la funzione tende ad una retta y=1, come potete vedere dal grafico. Ora però dobbiamo anche calcolare i limiti degli altri estremi della funzione, ossia x=0 e x=4 perchè potrebbero essere asintoti verticali!
In generale per non confondersi, bisogna calcolare tutti gli estremi della funzione!
\lim\limits_{x \to 0^-} \sqrt{ \frac{x-4}{x} } = \sqrt{\frac{-4}{0^-}} = + \infin
E quindi x=0 come detto negli esercizi precedenti rappresenta un asintoto verticale. Notate che abbiamo calcolato solo il limite sinistro, perchè per via del dominio non esiste il limite destro.
Mentre x=4 non è nulla, di fatti:
\lim\limits_{x \to 4^+} \sqrt{ \frac{x-4}{x} } = \sqrt{\frac{0^+}{4}} = 0
Esercizio 7. y=\frac{1}{\ln x}
Abbiamo una funzione fratta ed una logaritmica, partiamo dal dominio del logaritmo:
D:x>0.
Passiamo ora al dominio della frazione:
D:\ln x \ne 0 \implies x \ne 1
nel quale abbiamo usato la formula:
\log_a b = x \implies a^x =b
Quindi il dominio di tutta la funzione è:
D:x>0 \land x \ne 1
Andiamo a studiare tutti gli estremi della funzione. Partiamo da x=0: chiaramente solo l’intorno destro che esiste.
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{\ln x} =\frac{1}{\ln 0^+} =\frac{1}{ -\infin} = 0
Quindi questo punto non rappresenta nulla di asintoti. Semplicemente la funzione parte da 0. Studiamo ora il punto x=1, per la quale esistono entrambi gli intorni.
\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{1}{\ln x} =\frac{1}{\ln 1^-} = \frac{1}{0^-} = - \infin
\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{1}{\ln x} =\frac{1}{\ln 1^+} = \frac{1}{0^+} = + \infin
x=1 è un punto nel quale c’è un asintoto verticale.
Passiamo ora all’estremo verso infinito per la ricerca di possibili asintoti orizzontali. Chiaramente solo + infinito, perchè la funzione non esiste a – infinito.
\lim\limits_{x \to +\infin} \frac{1}{\ln x} =\frac{1}{\ln +\infin} = \frac{1}{+\infin} = 0
Quindi y=0 è un asintoto orizzontale.
Ricordiamo che se avete difficoltà nei limiti vi consiglio di vedere (in un paio di giorni capite tutto): limiti base, forme indeterminate, limiti notevoli.
Continuiamo con la ricerca degli asintoti con altri esercizi svolti!
Esercizio 8. y=\frac{2 e^{-x} }{x}
Partiamo dal dominio come sempre. Abbiamo una funzione fratta (l’esponenziale non dà problemi di dominio), quindi:
D:x \ne 0
Per capire meglio, il dominio lo possiamo anche rappresentare nella forma equivalente come:
D:]-\infin , 0[ \land ]0, + \infin [
Partiamo dallo studio del punto x=0 di discontinuità.
\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{2 e^{-x} }{x} =\frac{2 e^{-0} }{0^-} =\frac{2 }{0^-} = -\infin
\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{2 e^{-x} }{x} =\frac{2 e^{-0} }{0^+} = \frac{2 }{0^+} = + \infin
x=0 è un punto di asintoto verticale. Ora passiamo ai due estremi infinito della funzione.
\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{2 e^{-x} }{x} =\frac{2 e^{+\infin} }{-\infin}
Questa è una forma indeterminata, e riscriviamo il limite come:
=\lim\limits_{x \to - \infin } 2 (\frac{x }{e^x} )^{-1} =2 ( \frac{-\infin }{e^{-\infin}} )^{-1} =2 ( \frac{-\infin }{0} )^{-1}
= 2 ( -\infin )^{-1} = 2 \frac{1}{-\infin } = 0
\lim\limits_{x \to + \infin } \frac{2 e^{-x} }{x} =\frac{2 e^{-\infin} }{+\infin} =\frac{0 }{+\infin} =0
Quindi y=0 è un asintoto orizzontale per entrambi gli estremi!
Esercizio 9. y= \frac{1}{1-x^2}
Come prima cosa calcoliamo il dominio di questa funzione fratta.
D:1- x^2 \ne 0 \implies x^2 \ne 1 \implies x \ne \pm 1
Partiamo questa volta dagli estremi della funzione ad infinito (potete partire e fare come volete, è uguale):
\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(-\infin)^2} =\frac{1}{-\infin} =0
\lim\limits_{x \to + \infin } \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(+\infin)^2}=\frac{1}{-\infin}=0
y=0 rappresenta un asintoto orizzontale per entrambi gli estremi. Ora passiamo allo studio del punto x=-1
\lim\limits_{x \to -1^- } \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(-1^-)^2} =\frac{1}{1-1^-} =\frac{1}{0^+} =+\infin
\lim\limits_{x \to -1^+ } \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(-1^+)^2} =\frac{1}{1 -1^-} =\frac{1}{0^+} = +\infin
x=-1 è un punto di asintoto verticale, adesso passiamo ad x=1:
\lim\limits_{x \to 1^- } \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(1^-)^2} =\frac{1}{1-1^-} =\frac{1}{0^+} =+\infin
\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{1-(1^+)^2} =\frac{1}{1-1^-} =\frac{1}{0^+} =+\infin
Anche x=1 è un punto di asintoto verticale! Di fatti la funzione si comporta come segue.
Esercizio 10. y=\arctg (1+ x^2)
Partiamo dal dominio dell’arcotangente. Ricordiamo che tale funzione è definita per tutto R, quindi non ci sono problemi di dominio.
Essa è quindi definita in ]-\infin,+\infin[
Qui dobbiamo studiare solamente gli estremi della funzione, quindi:
\lim\limits_{x \to - \infin } \arctg (1+ x^2) =\arctg (1+ (-\infin)^2) =\arctg (1+ \infin) =\frac{\pi}{2}
\lim\limits_{x \to + \infin } \arctg (1+ x^2) = \arctg (1+ (+\infin)^2) =\arctg (1+\infin) =\frac{\pi}{2}
visto il comportamento dell’arcotangente. Abbiamo quindi che y=\frac{\pi}{2} rappresenta un asintoto orizzontale per la funzione.
Continuiamo con la ricerca degli asintoti con altri esercizi svolti!
Asintoti OBLIQUI esercizi svolti
Esercizio 11. y=\frac{2x^2 -1}{x+1}
Partiamo anche in questo caso e come sempre col dominio:
D:x+1 \ne 0 \implies x \ne -1
Studiamo il punto x=-1 che potrebbe rappresentare un asintoto verticale.
\lim\limits_{x \to -1^-} \frac{2x^2 -1}{x+1} = \frac{2 -1}{0^+} =+\infin
\lim\limits_{x \to -1^+ } \frac{2x^2 -1}{x+1} = \frac{2x^2 -1}{0^-} =-\infin
x=-1 rappresenta un punto di asintoto verticale, ma questo lo sappiamo già fare. Ora studiamo gli estremi:
\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{2x^2 -1}{x+1} = \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x^2(2 -\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})}
=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x(2 -\frac{1}{x^2})}{1+\frac{1}{x}} = \frac{-2 \infin}{1} = -\infin
E facciamo lo stesso per quell’altro limite:
\lim\limits_{x \to + \infin } \frac{2x^2 -1}{x+1} =\lim\limits_{x \to + \infin } \frac{x^2(2 -\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})}
=\lim\limits_{x \to + \infin } \frac{x(2 -\frac{1}{x^2})}{1+\frac{1}{x}} = \frac{+2 \infin}{1} = +\infin
In questo caso, se per la funzione che tende ad infinito il limite fa infinito, potrebbero esistere asintoti obliqui se esistono finiti:
m=\lim\limits_{x \to \pm \infin } \frac{f(x)}{x} e q=\lim\limits_{x \to \pm \infin } (f(x)-mx)
E quindi avremo che l’asintoto obliquo sarà la retta y=mx +q. Facciamo un passo alla volta, partiamo dal – infinito.
m=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{2x^2 -1}{x^2+x} = \frac{x^2 (2-\frac{1}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x})} = 2
q=\lim\limits_{x \to - \infin } (\frac{2x^2 -1}{x+1}-2x)=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{2x^2 -1 -2x(x+1)}{x+1}=
=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{2x^2 -1 -2x^2 -2x}{x+1}= \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{ -1 -2x}{x+1}=
= \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{ x(-2-\frac{1}{x})}{x(1+\frac{1}{x})}=-2
Quindi la funzione tende verso – infinito lungo un asintoto obliquo di equazione y=2x -2. Facendo i calcoli viene la stessa retta anche per +infinito.
Esercizio 13. y=\frac{4-x^3}{2x^2 -1}
Partiamo dal dominio della frazione.
D:2x^2 -1 \ne 0 \implies x^2 \ne \frac{1}{2} \implies x \ne \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
Questo capitolo vuol far capire come calcolare gli asintoti obliqui, quindi tralasciamo il calcolo dei possibili asintoti verticali dei punti x= \pm \frac{1}{\sqrt{2}} e concentriamoci solo sugli estremi e come si calcola un asintoto obliquo.
Partiamo dall’estremo sinistro.
\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{4-x^3}{2x^2 -1} = \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x^3 (-1 +\frac{4}{x^3})}{x^2 (2 -\frac{1}{x^2})}
= \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x (-1 +\frac{4}{x^3})}{2 -\frac{1}{x^2}} = -\infin \cdotp -1 = + \infin
Vediamo se c’è un asintoto obliquo e quindi se esiste finito m e q. Partiamo con il coefficiente m:
m=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{4-x^3}{2x^3 -x} =\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x^3 (-1 +\frac{4}{x^3})}{x^3 (2 -\frac{1}{x^2})} =- \frac{1}{2} =
Adesso passiamo al calcolo della q.
q=\lim\limits_{x \to - \infin } (\frac{4-x^3}{2x^2 -1}+\frac{x}{2} )=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{8-2x^3 +x(2x^2 -1)}{2(2x^2 -1)}
=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{8-x}{4x^2 -2} = \lim\limits_{x \to - \infin } \frac{x(\frac{8}{x}-1)}{x^2 (4-\frac{2}{x^2})}=
= \frac{\frac{8}{-\infin}-1}{-\infin (4-\frac{2}{\infin})}= 0
Quindi l’asintoto obliquo per l’estremo sinistro è y=-\frac{1}{2}x
Facendo i calcoli si trova lo stesso asintoto obliquo per l’estremo destro in questo caso.
Continuiamo con la ricerca degli asintoti con altri esercizi svolti!
Esercizio 15. y=\arctg x - \frac{1}{2}x
Nessuna delle due funzioni ha problemi di dominio. La funzione è definita in tutto R.
Partiamo dall’estremo sinistro:
\lim\limits_{x \to - \infin } \arctg x - \frac{1}{2}x = \arctg (-\infin) + \infin = -\frac{\pi}{2} + \infin = + \infin
Quindi potrebbe esserci un asintoto obliquo, vediamo! Iniziamo a calcolare la m.
m=\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{\arctg x - \frac{1}{2}x}{x} =\lim\limits_{x \to - \infin } \frac{\arctg x }{x} - \frac{1}{2} =
=\frac{\arctg (-\infin ) }{-\infin} - \frac{1}{2} = 0 -\frac{1}{2} =- \frac{1}{2}
Adesso passiamo a calcolare la q.
q=\lim\limits_{x \to - \infin } (\arctg x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x )=\lim\limits_{x \to - \infin } \arctg x =- \frac{\pi}{2}
Quindi l’asintoto obliquo per l’estremo di sinistra è la retta y=- \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{2}
Facendo i calcoli troviamo lo stesso per l’estremo di destra e quindi li tralasciamo.
Trovare gli asintoti di una funzione negli esercizi
In questa pagina abbiamo visto come ricercare gli asintoti di una funzione con esercizi svolti, il prossimo step sarà lo studio dei massimi e minimi e le convessità. Continuate a studiare sul nostro sito, trovate centinaia di esercizi svolti di matematica che altro ancora!
Per approfondire: https://it.wikipedia.org/wiki/Asintoto
Asintoti di una funzione: esercizi svolti.
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